Question

【题目】已知奇函数.

（1）求实数的值，并画出函数的图象；

（2）若函数在区间上是增函数，结合函数的图象，求实数的取值范围；

（3）结合图象，求函数在区间上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) m＝2. (2) (1,3]．（3）最大值是1，最小值是－1.

【解析】

试题（1）根据奇函数定义得f(－x)＝－f(x)代入可得m＝2通过描点可得函数f(x)的图象；（2）根据图像可得[－1，a－2]为[－1,1]一个子集，结合数轴可得实数a满足的条件，解不等式可得a的取值范围（3）根据图像可得最高点与最低点，对应求出最大值和最小值．

试题解析：解：(1)当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又∵函数f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x.

又∵当x<0时，f(x)＝x2＋mx，

∵对任意x<0，总有x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.

函数f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知f(x)＝

由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－1,1]上的图象是“上升的”，

∴函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．

要使f(x)在[－1，a－2]上是增函数，

需有解得1<a≤3，

即实数a的取值范围是(1,3]．

(3)由图象可知，函数f(x)的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f(1))，最低点是(－1，f(－1))．

又因为f(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，所以函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.