题目内容

已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
(1)   (2) 不可能,理由见解析
解:(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).
因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A(1,m),
代入椭圆方程得+m2=1,即m=±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|=×2×2|m|=.
(2)四边形OABC不可能为菱形.理由如下:
假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,
所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).

消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-=k·+m=.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点,
所以直线OB的斜率为-.
因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直.
所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
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