Question

【题目】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．

Answer 1

【答案】
（1）解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，

则P（Ak）= ，P（Bk）= ，k=1，2，3，4，5

P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（ ）2+ ×（ ）2+ × ×（ ）2= ．

（2）解：X的可能取值为2，3，4，5．

P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）= ，

P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）= ，

P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）= ，

P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）= = ，

或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，

故分布列为：

X	2	3	4	5
P

E（X）=2× +3× +4× +5× = ．

【解析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．