Question

17．若任意的实数a≤-1，恒有-a•2^x+x+3a≥0成立．则实数x的取值范围为（log₂3，+∞）．

Answer 1

分析 设f（a）=a（2^x-3）-x，由题意可得，2^x-3＞0，且f（-1）≤0恒成立，再由g（x）=x+2^x在R上递增，且g（1）=3，解不等式求交集即可．

解答 解：∵任意的实数a≤-1，恒有-a•2^x+x+3a≥0成立，
∴任意的实数a≤-1，恒有（2^x-3）a-x≤0成立，
设f（a）=（2^x-3）a-x，
则2^x-3＞0，且f（-1）≤0恒成立，
则有x＞log₂3，且3-x-2^x≤0，
由x+2^x≥3，又g（x）=x+2^x在R上递增，且g（1）=3，
则g（x）≥g（1），解得x≥1．
又x＞log₂3，则有x＞log₂3．
故答案为：（log₂3，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查构造函数运用单调性解题，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．