Question

7．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，下列结论中正确的是①②④（只填序号）．
①AD₁∥BC₁；  ②平面AB₁D₁∥平面BDC₁； ③AD₁∥DC₁；   ④AD₁∥平面BDC₁．

Answer 1

分析 由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁性质得AD₁∥BC₁；由AD₁∥BC₁，B₁D₁∥BD，得平面AB₁D₁∥平面BDC₁；由AD₁∥BC₁，BC₁∩DC₁=C₁，得AD₁与DC₁异面；由AD₁∥BC₁，得AD₁∥平面BDC₁．

解答 解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AD₁∥BC₁，故①正确；
∵AD₁∥BC₁，B₁D₁∥BD，AD₁∩B₁D₁=D₁，BC₁∩BD=B，
∴平面AB₁D₁∥平面BDC₁，故②正确；
∵AD₁∥BC₁，BC₁∩DC₁=C₁，
∴AD₁与DC₁异面，故③错误；
∵AD₁∥BC₁，AD₁?平面BDC₁，BC₁?平面BDC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．