Question

已知数列是首项为的等比数列，且满足.
（1）  求常数的值和数列的通项公式；
（2）  若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；
（3） 在（2）的条件下，设数列的前项和为.是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）所求常数的值为1且  （2）.
（3）时，

第一问中解：由得，，
又因为存在常数p使得数列为等比数列，
则即，所以p=1
故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.
此时也满足，则所求常数的值为1且
第二问中，解：由等比数列的性质得：
（i）当时，；
（ii） 当时，，
所以
第三问假设存在正整数n满足条件，则，
则（i）当时，
，