Question

（本小题满分13分）
已知数列满足，且当时，，令．
（Ⅰ）写出的所有可能的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）的所有可能的值为：，，，，．（2）的最大值为；（3）.

第一问中，根据题意可知当i=5时，满足条件的数列的所有可能情况有
，分别结算得到的值
第二问中，因为递推关系可知由，
可设，则或（，），
那么借助于累加法的思想得到数列的通项公式
第三问中，由（Ⅱ）可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，可知分析得到结论。
解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：
（1）此时；（2）此时；
（3）此时；（4）此时；
（5）此时；（6）此时；
所以，的所有可能的值为：，，，，．       ……4分
（Ⅱ）由，
可设，则或（，），
因为，所以
．
因为，所以，且为奇数，是由
个1和个构成的数列
所以
．
则当的前项取，后项取时最大，
此时．
证明如下：
假设的前项中恰有项取，则
的后项中恰有项取，其中，
，，．
所以


．
所以的最大值为．                          ……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前项中恰有项取，的后项中恰有项取，则，若，则，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此不存在数列，使得．                                       ……13分