题目内容
【题目】农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为____.
【答案】
【解析】
(1)先算出正四面体的体积,六面体的体积是正四面体体积的倍,即可得出该六面体的体积;(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时,求出球的半径,再代入球的体积公式可得答案.
(1)每个三角形面积是,由对称性可知该六面是由两个正四面合成的,
可求出该四面体的高为,故四面体体积为,
因此该六面体体积是正四面体的2倍, 所以六面体体积是;
(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时,由于图像的对称性,内部的小球要是体积最大,就是球要和六个面相切,
连接球心和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为,
所以, 所以球的体积.
故答案为:;.