题目内容
19．已知函数$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的反函数为f-1（x）（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）解关于x的不等式f-1（x2-2）＜f（x）．
分析 （1）由已知可得函数$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的定义域为：（1，+∞），利用定义法，可证得函数f（x）在（1，+∞）为减函数；
（2）由已知可得f-1（x）=f（x），故不等式f-1（x2-2）＜f（x）可化为：f（x2-2）＜f（x），结合（1）中函数的单调性和定义域，可得答案．
解答 解：（1）由a-ax＞0，0＜a＜1得：x＞1，
故函数$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的定义域为：（1，+∞），
函数f（x）在（1，+∞）为减函数，理由如下：
任取x2＞x1＞1，
则$a-{a}^{{x}_{1}}$＞0，${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x2）-f（x1）=$lo{g}_{a}（a-{a}^{{x}_{2}}）$-$lo{g}_{a}（a-{a}^{{x}_{1}}）$=$lo{g}_{a}\frac{a-{a}^{{x}_{2}}}{a-{a}^{{x}_{1}}}$=$lo{g}_{a}（1+\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{a-{a}^{{x}_{1}}}）$＜loga1=0，
∴f（x2）＜f（x1），
即函数f（x）在（1，+∞）为减函数，
（2）由已知可得f-1（x）=f（x），
故不等式f-1（x2-2）＜f（x）可化为：f（x2-2）＜f（x）．
即x2-2＞x＞1，
解得：x＞2
点评 本题考查的知识点是反函数，函数的单调性的判断与证明，函数单调性的应用，二次不等式的解法，难度中档．
练习册系列答案
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10．下列结论中正确的是（ ）
| A． | 当x＞0且x≠1时，lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2 | B． | 当x＞0且x≠1时，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2 | ||
| C． | 当x≥3时，x+$\frac{1}{x}$的最小值是$\frac{10}{3}$ | D． | 当0＜x≤1时，x-$\frac{1}{x}$无最大值 |
如图，在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数y=ax2+bx+c（a≠0），x∈[0，6]（单位：千米）的图象，且图象的最高点为A（4，4）；观光带的后一部分为线段BC．