Question

4．已知点A是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=c（c为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意把|AF|用含有a，b的代数式表示，结合|AF|=c列式得到关于a，c的方程，转化为关于e的方程得答案．

解答 解：如图，
由$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），得$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴${y}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$，取x=c，可得${y}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{c}^{2}）=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
∵|AF|=c，∴|AF|²=${c}^{2}=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}=\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{a}^{2}}$，
整理得：c⁴-3a²c²+a⁴=0，即e⁴-3e²+1=0，
解得${e}^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$（舍）或${e}^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆通径的应用，是基础的计算题．