题目内容
已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=,记动点P的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)若A、B是曲线C上不同的两点,O是坐标原点,求的最小值.
(1)求C的方程;
(2)若A、B是曲线C上不同的两点,O是坐标原点,求的最小值.
解:(1)由题意知点P的轨迹是双曲线(a>0,b>0)的右半支,其中实半轴长a=,焦半距c=2,
∴ b2=c2-a2=2,
于是C的方程为(x>0). ……………………4分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.
若AB⊥x轴,此时x1=x2,y1=-y2,
∴ =x1x2+y1y2=.
∵ (x1,y1)在双曲线C上,
∴ =2,
即 =2. ……………………6分
若AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx+b,
由得(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0.
∵ A、B是双曲线右支上不同的两点,
∴ 1-k2≠0,且Δ>0,x1x2=>0,x1+x2=>0,
即 可解得0<k2-1<(b≠0).
……………………8分
∵ y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=,
∴ =x1x2+y1y2=+==2+.
又∵ k2-1>0,从而>2.
综上,当AB⊥x轴时,取得最小值2. …………………10分
∴ b2=c2-a2=2,
于是C的方程为(x>0). ……………………4分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.
若AB⊥x轴,此时x1=x2,y1=-y2,
∴ =x1x2+y1y2=.
∵ (x1,y1)在双曲线C上,
∴ =2,
即 =2. ……………………6分
若AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx+b,
由得(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0.
∵ A、B是双曲线右支上不同的两点,
∴ 1-k2≠0,且Δ>0,x1x2=>0,x1+x2=>0,
即 可解得0<k2-1<(b≠0).
……………………8分
∵ y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=,
∴ =x1x2+y1y2=+==2+.
又∵ k2-1>0,从而>2.
综上,当AB⊥x轴时,取得最小值2. …………………10分
略
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