Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=$\frac{1}{2}$AC=2，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$．
（1）证明：AP⊥BD；
（2）若AP=$\sqrt{7}$，AP与BC所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，求二面角A-BP-C的余弦值．．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，BC=CD．可得BD⊥AC．再利用面面垂直的性质可得BD⊥平面PAC，即可证明．
（2）连接BD与AC相交于点E，由于BC=CD=$\frac{1}{2}AC=2$，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$．可得BD⊥AC，又BD⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴?平面APC．设P（0，y，$\sqrt{7-（y+3）^{2}}$），由于AP与BC所成的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$，可得$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BC}|}$，-3≤y≤0，解得y．可得P坐标，设平面ABP的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，同理可得平面BPC的法向量$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，BC=CD．∴BD⊥AC．
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AP．
（2）解：连接BD与AC相交于点E，
∵BC=CD=$\frac{1}{2}AC=2$，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$．
则BD⊥AC，
又BD⊥平面PAC，分别以EB，EC为x，y轴，过点E与平面ABCD垂直的直线为z轴，则z轴?平面APC．
可得B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A（0，-3，0），设P（0，y，$\sqrt{7-（y+3）^{2}}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，y+3，$\sqrt{7-（y+3）^{2}}$）．
∵AP与BC所成的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BC}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|y+3|}{2\sqrt{7}}$，-3≤y≤0，解得y=-1．
∴P（0，-1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，3，0），
设平面ABP的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x+3y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，-1，\frac{2\sqrt{3}}{3}）$．
同理可得：平面BPC的法向量$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，3，2\sqrt{3}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\frac{4}{\sqrt{3}}×2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵二面角A-BP-C的平面角为钝角，
∴二面角A-BP-C的余弦值为$-\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、向量的夹角关系、线面垂直与平行的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．