Question

10．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值为f（-1）=0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的范围．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）的最小值为f（-1）=0，则f（-1）=a-b+1=0，且-$\frac{b}{2a}$=-1，解得函数的解析式，进而得到函数的单调区间；
（2）f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，转化为x²+x+1＞k在区间[-3，-1]上恒成立．设g（x）=x²+x+1，x∈[-3，-1]，求出函数的最值，可得答案．

解答 解　（1）∵函数f（x）的最小值为f（-1）=0，
∴f（-1）=a-b+1=0，且-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+1，
由函数的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故单调减区间为（-∞，-1]，单调增区间为[-1，+∞）
（2）f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，
转化为x²+x+1＞k在区间[-3，-1]上恒成立．
设g（x）=x²+x+1，x∈[-3，-1]，
则g（x）在[-3，-1]上递减．
∴g（x）_min=g（-1）=1．
∴k＜1，
即k的取值范围为（-∞，1）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．