Question

18．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ） 求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ） 求满足f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件便可得到-f（x）+g（x）=e^-x，这样联立f（x）+g（x）=e^x即可解出f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$；
（Ⅱ）根据f（x）的解析式便可看出f（x）为增函数，从而由f（1-m）+f（1-m²）＜0，及f（x）的单调性和奇偶性即可得到1-m＜m²-1，解该不等式即可得出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（-x）+g（-x）=e^-x，f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数；
∴-f（x）+g（x）=e^-x，联立f（x）+g（x）=e^x可得：
f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，$g（x）=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$；
（Ⅱ）$f（x）=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，x增大时，显然f（x）增大，∴在R上单调递增，且为奇函数；
∴f（1-m）＜f（m²-1）；
∴1-m＜m²-1；
解得m＜-2，或m＞1；
∴实数m的取值范围为（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，增函数的定义，以及指数函数的单调性，根据函数单调性和奇偶性解不等式，解一元二次不等式．