Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，点H为DC边中点，现以线段AH为折痕将△DAH折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点.

（1）求证：平面PBC∥平面EFH；

（2）若三棱锥P﹣EFH的体积等于，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a＝2

【解析】

（1）分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可证明结论；

（2）根据条件求出AH，DH＝PH＝CH，然后证明PH⊥平面ABCH，又点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，故VH－PEF＝VH－AEF，则，据此计算求解即可.

（1）证明：菱形ABCD中，∵E，H分别为AB，CD的中点，∴BE∥CH，BE＝CH，

∴四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH平面PBC，∴EH∥平面PBC，

又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF∥BP，又EF平面PBC，∴EF∥平面PBC，

由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；

（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，

∴AH⊥CD，AH，DH＝PH＝CH，

折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH．

在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，∴VH－PEF＝VH－AEF，

而VH－PEF+VH－AEF＝VH－PAE，

∴

，

∴a3＝8，即a＝2．故a＝2．