Question

【题目】水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0<p<1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.

某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放

现有以下四种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；

方案四：四个样本混在一起化验.

化验次数的期望值越小，则方案越"优".

（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；

（2）①若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①方案四最优；②

【解析】

（1）计算2个A级混合样本达标的概率，再根据对立事件原理求得它们不达标的概率；

（2）①计算方案一：逐个检测，检测次数为ξ＝4；方案二：检测次数为ξ2，则ξ2可能取值为2，4，6，求概率分布列，计算数学期望；方案四：混在一起检测，检测次数为ξ4，则ξ4可取值为1，5，求概率分布列，计算数学期望；比较得出选择方案几最“优”；

②方案三：化验次数为η3，则η3可取值为2，5，求概率分布列，计算数学期望；

方案四：化验次数为η4，则η4可取值为1，5，求概率分布，计算数学期望；

由题意列不等式E（η3）＜E（η4），求出p的取值范围．

(1)该混合样本达标的概率是，所以根据对立事件原理，不达标的概率为.

(2)①方案一：逐个检测，检测次数为4.

方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.

其分布列如下，

可求得方案二的期望为

方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.

其分布列如下，

可求得方案四的期望为.

比较可得，故选择方案四最“优”.

②方案三：设化验次数为，可取2,5.

；

方案四：设化验次数为，可取

；

由题意得.

故当时，方案三比方案四更“优”.