题目内容

【题目】已知半径为的球面上有两点,且,球心为,若是球面上的动点,且二面角的大小为,则四面体的外接球表面积为______.

【答案】

【解析】

所在截面圆的圆心为中点为,连接,易知,从而可知即为二面角的平面角,,进而可求出,由三点的距离相等,可知四面体外接球的球心在射线上,设四面体外接球半径为,在中,由勾股定理,可得,可求出,进而求出外接球的表面积.

所在截面圆的圆心为中点为,连接

,所以,同理,所以即为二面角的平面角,.

因为,所以是等腰直角三角形,所以.

中,由,得,由勾股定理,得.

因为三点的距离相等,所以四面体外接球的球心在射线.

设四面体外接球半径为,在中,,由勾股定理,可得,即,解得,所以.

故答案为:.

练习册系列答案
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【题目】“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入(亿元)与科技改造直接收益(亿元)的数据统计如下:

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

时,建立了的两个回归模型:模型①:;模型②:;当时,确定满足的线性回归方程为:.

(1)根据下列表格中的数据,比较当时模型①、②的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.

回归模型

模型①

模型②

回归方程

182.4

79.2

(附:刻画回归效果的相关指数.)

(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小;

(附:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式

(3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高,服从正态分布,公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过,不予奖励;若发动机的热效率超过但不超过,每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过,每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.

(附:随机变量服从正态分布,则.)

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