题目内容
【题目】已知半径为的球面上有两点
,且
,球心为
,若
是球面上的动点,且二面角
的大小为
,则四面体
的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】
设所在截面圆的圆心为
,
中点为
,连接
,易知
,
,从而可知
即为二面角
的平面角,
,进而可求出
,
,
,由
到
三点的距离相等,可知四面体
外接球的球心
在射线
上,设四面体
外接球半径为
,在
中,由勾股定理,可得
,可求出
,进而求出外接球的表面积.
设所在截面圆的圆心为
,
中点为
,连接
,
则,所以
,同理
,所以
即为二面角
的平面角,
.
因为,
,所以
是等腰直角三角形,所以
.
在中,由
,得
,由勾股定理,得
.
因为到
三点的距离相等,所以四面体
外接球的球心
在射线
上.
设四面体外接球半径为
,在
中,
,
,
,由勾股定理,可得
,即
,解得
,所以
.
故答案为:.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】江苏省从2021年开始,高考取消文理分科,实行“3+1+2”的模式,其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目,某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况,随机抽取了100名学生进行问卷调查,如下表是根据调查结果得到的2×2列联表.
性别 | 选择物理 | 选择历史 | 总计 |
男生 | 50 | b | m |
女生 | c | 20 | 40 |
总计 | 100 |
(1)求m,b,c的值;
(2)请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由.
附:对于2×2列联表
类1 | 类2 | 合计 | |
类A | a | b | a+b |
类B | c | d | c+d |
合计 | a+c | b+d | a+b+c+d |
有,其中
.
P( | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】边长为2正方体中,点E在棱CD上.
(1)求证:;
(2)若E是CD中点,求与平面
所成的角的正弦值;
(3)设M在棱上,且
,是否存在点E,使平面
⊥平面
,若存在,指出点E的位置,若不存在,请说明理由.
【题目】“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入(亿元)与科技改造直接收益
(亿元)的数据统计如下:
2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |
13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
当时,建立了
与
的两个回归模型:模型①:
;模型②:
;当
时,确定
与
满足的线性回归方程为:
.
(1)根据下列表格中的数据,比较当时模型①、②的相关指数
,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 | ||
182.4 | 79.2 |
(附:刻画回归效果的相关指数,
.)
(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小;
(附:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
;
)
(3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高,
服从正态分布
,公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过
,不予奖励;若发动机的热效率超过
但不超过
,每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过
,每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
(附:随机变量服从正态分布
,则
,
.)