题目内容
【题目】定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径".已知锐角三角形的三个顶点A,B,C在半径为1的圆上,且,分别以
各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和
构成平面区域D,则平面区域D的“直径”是______.
【答案】
【解析】
由两圆上点的距离的最大值为圆心距加上两圆半径可得平面区域D的“直径”就是三个圆的半径之和,也即三角形周长的一半,由正弦定理得,由余弦定理结合基本不等式可得
的最大值,从而可得结论.
如图所示,设三个半圆的圆心分别为G,F,E,半径分别为,
,
,M,P,N分别为半圆上的动点,
连接PM,MG,GF,FP,设的三个内角
,
,
的对边分别为
,
,
.则
,
当且仅当M,G,F,P共线时取等号,同理可得,
,因为
外接圆的半径为1,
,所以
,
.在
中,由余弦定理,可知
,即
,解得
,当且仅当
时取等号.
所以,当且仅当
时取等号,故平面区域D的“直径”是
.
故答案为:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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