题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若曲线
在点
处的切线经过坐标原点，求
的值；
（2）若
存在极小值
，使不等式
恒成立，求实数
的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）求出
导函数
，即可求出
在点
处的切线斜率，利用过点
和坐标原点，列方程求出
．
（2）分类讨论
存在极小值
即先减后增，求出的范围并求出
，则
恒成立转化为
恒成立，构造函数
，通过求导求其最大值即可得出结果。
（1）函数导函数
，
所以曲线在点处切线的斜率
，
又
，因为切线过坐标原点，所以
，
得；
（2）由（Ⅰ）知
，若
，则
在
上恒成立，在定
义域内单调递增，没有极值；
若
，当
时，
，当
时，，所以在
上单调
递减，在
上单调递增，所以在
处取得极小值，所以
，
，
设，
，则
，
因为
，
，
，
，所以
在上单调递增，
在上单调递减，所以
，
所以实数
的范围是.
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【题目】2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100人进行调查，经统计男生与女生的人数比为
，男生中有20人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣.
（1）完成
列联表，并判断能否有
把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 | 没有兴趣 | 合计 | |
男 | 20 | ||
女 | 15 | ||
合计 | 100 |
（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.
附：
，其中
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
