Question

【题目】抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_______.

Answer 1

【答案】A

【解析】

试题设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，

由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，

在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．

由余弦定理得，

|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，

配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，

又∵ab≤，

∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2

得到|AB|≥（a+b）．

∴≤1，

即的最大值为1．

故选：A．