题目内容
【题目】已知,
.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由函数的解析式可得
,当
时,
,
在
上单调递增;当
时,由导函数的符号可知
在
单调递减;在
单调递增.
(Ⅱ)构造函数,问题转化为
在
上恒成立,求导有
,注意到
.分类讨论:当
时,不满足题意. 当
时,
,
在
上单调递增;所以
,满足题意.
则实数的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)
,
当时,
,
.∴
在
上单调递增;
当时,由
,得
.
当时,
;当
时,
.
所以在
单调递减;在
单调递增.
(Ⅱ)令,
问题转化为在
上恒成立,
,注意到
.
当时,
,
,
因为,所以
,
,
所以存在,使
,
当时,
,
递减,
所以,不满足题意.
当时,
,
当时,
,
,
所以,
在
上单调递增;所以
,满足题意.
综上所述: .
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