Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）① ②

【解析】

（1）利用椭圆的定义可知，再根据离心率求，即可写出椭圆方程（2）①求出M,N的坐标，利用两点间距离公式，化简即可求出为定值②设点（），点Q，表示出 ，再利用点P在椭圆上，化为关于的函数，即可求出范围.

（1）由题意知 ，则 ,又 可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．