题目内容
设P是直线l：2x+y+9=0上的任一点，过点P作圆x2+y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点 ．
考点：圆的切线方程,恒过定点的直线
专题：直线与圆
分析：根据题意设P的坐标为（m，-2m-9），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．
解答：
解：因为P是直线l：2x+y+9=0上的任一点，所以设P（m，-2m-9），
因为圆x2+y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（
，-
），且半径的平方是r2=
，
所以圆C的方程是(x-
)2+(y+
)2=
，①
又x2+y2=9，②，
②-①得，mx-（2m+9）y-9=0，即公共弦AB所在的直线方程是：mx-（2m+9）y-9=0，
即m（x-2y）-（9y+9）=0，
由
得，
，
所以直线AB恒过定点（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
因为圆x2+y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（
| m |
| 2 |
| 2m+9 |
| 2 |
| m2+(2m+9)2 |
| 4 |
所以圆C的方程是(x-
| m |
| 2 |
| 2m+9 |
| 2 |
| m2+(2m+9)2 |
| 4 |
又x2+y2=9，②，
②-①得，mx-（2m+9）y-9=0，即公共弦AB所在的直线方程是：mx-（2m+9）y-9=0，
即m（x-2y）-（9y+9）=0，
由
|
|
所以直线AB恒过定点（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
点评：本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．
练习册系列答案
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若两个非零向量
、
，互相垂直，则下列一定成立的是（ ）
| a |
| b |
A、
| ||||||||
B、
| ||||||||
C、|
| ||||||||
D、(
|