Question

10．已知函数g（x）=2lnx+$\frac{m}{x}$-1，f（x）=$\frac{（x-m）^{2}}{lnx}$．
（1）讨论g（x）的单调性；
（2）当0＜m＜1时，证明x=m是f（x）极大值点；
（3）若f（x）的3个极值点分别是x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，证明：x₁+x₃＞$\frac{2}{\sqrt{e}}$．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数单调性的关系即可判断，
（2）先求导，求出f′（x）=0，构造函数h（x）=2lnx+$\frac{m}{x}$-1，根据零点存在定理，可知函数的一个零点x₀∈（1，2），则x₀＞m，
再根据导数和函数的极值的关系即可证明，
（3）先利用导数和函数的极值求出a的取值范围，结合函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，构造函数，利用单调性去判断．

解答 解：（1）g（x）=2lnx+$\frac{m}{x}$-1，x＞1，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-m}{{x}^{2}}$，
当m≤0时，g′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）单调递增，
当m＞0时，
令g′（x）＞0，即2x-m＞0，解得x＞$\frac{m}{2}$，函数单调递增，
令g′（x）＜0，即2x-m＜0，解得0＜x＜$\frac{m}{2}$，函数单调递减，
综上所述：当m≤0时，函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
当m＞0时，函数f（x）在（$\frac{m}{2}$，+∞）上单调递增，在（0，$\frac{m}{2}$）上单调递减；
（2）f（x）=$\frac{（x-m）^{2}}{lnx}$，x＞0，且x≠1，
∴f′（x）=$\frac{2（x-m）lnx-（x-m）^{2}•\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$=$\frac{（x-m）（2lnx+\frac{m}{x}-1）}{l{n}^{2}x}$
令h（x）=2lnx+$\frac{m}{x}$-1，
∴h′（x）=$\frac{2x-m}{{x}^{2}}$；
∴h（x）在（0，$\frac{m}{2}$）上单调递减，在（$\frac{m}{2}$，+∞）上单调递增；
∵h（1）=m-1＜0，h（2）=2ln2+$\frac{m}{2}$-1=ln$\frac{4}{e}$+$\frac{m}{2}$＞0，
∴h（x）在（1，2）内存在零点，
设h（x₀）=0，
∴x₀＞m，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜m，或x＞x₀，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即m＜x＜x₀，函数单调递减，
∴当x=m时，函数有极大值，
∴当0＜m＜1时，x=m是f（x）极大值点；
（3）由（2）可知，
∴h（$\frac{m}{2}$）是h（x）的最小值；
∵f（x）有三个极值点x₁＜x₂＜x₃；
∴h（$\frac{m}{2}$）=2ln$\frac{m}{2}$+1＜0；
∴m＜$\frac{2}{\sqrt{e}}$；
∴a的取值范围为（0，$\frac{2}{\sqrt{e}}$），
当0＜m＜$\frac{2}{\sqrt{e}}$时，h（m）=2lnm＜0，h（1）=m-1＜0；
∴x₂=m；
即x₁，x₃是函数h（x）的两个零点；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2ln{x}_{1}+\frac{m}{{x}_{1}}-1=0}\\{2ln{x}_{2}+\frac{m}{{x}_{2}}-1=0}\end{array}\right.$；
消去a得2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃；
令φ（x）=2xlnx-x，φ′（x）=2lnx+1，φ′（x）的零点为x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，且x₁＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜x₃；
∴φ（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）上递减，在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）上递增；
要证明x₁+x₃＞$\frac{2}{\sqrt{e}}$?x₃＞$\frac{2}{\sqrt{e}}$-x₁?φ（x₃）＞φ（$\frac{2}{\sqrt{e}}$-x₁）；
∵φ（x₁）=φ（x₃），∴即证φ（x₁）＞φ（$\frac{2}{\sqrt{e}}$-x₁）；
构造函数F（x）=φ（x）-φ（$\frac{2}{\sqrt{e}}$-x）；则F（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=0；
∴只要证明x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]上F（x）单调递减；
φ（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]单调递减；
∴x增大时，$\frac{1}{\sqrt{e}}$-x减小，φ（$\frac{1}{\sqrt{e}}$-x）增大，-φ（$\frac{1}{\sqrt{e}}$-x）减小；
∴-φ（$\frac{1}{\sqrt{e}}$-x）在0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]上是减函数
∴φ（x）-φ（$\frac{2}{\sqrt{e}}$-x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]上是减函数；
∴当0＜a＜$\frac{2}{\sqrt{e}}$时，x₁+x₃＞$\frac{2}{\sqrt{e}}$．

点评 考查根据导数符号求函数单调区间，求函数极值点的方法，极值点的概念，以及构造函数解决问题的方法，根据导数符号求函数最值的方法，根据单调性定义判断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的运用，属于难题．