Question

6．为了解某市高三学生身高（单位：cm）情况，对全市高三学生随机抽取1000人进行了测量，经统计，得到如图的频率分布直方图（其中身高的分组区间分别为[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]）
（1）求a的值；
（2）在所抽取的1000人中，用分层抽样的方法在身高[170，190]中抽取一个容量为4的样本，将该样本看作一个整体，从中任意抽取2人，求这两人的身高恰好落在区间[170，180）的概率；
（3）若该市高三有20000人，根据此次测量统计结果，估算身高在区间[160，180）的人数．

Answer 1

分析 （1）由各组频率之和，即频率分布直方图中各组矩形的面积和为1，可得a的值；
（2）根据分层抽样的原则，可得在身高[170，190]中抽取一个容量为4的样本，则身高[170，180）中应抽取3人，身高[180，190]中应抽取1人，求出抽取的方法总数和满足条件的抽法数，代入古典概型概率计算公式，可得答案；
（3）根据身高在区间[160，180）的频率，可估算出身高在区间[160，180）的人数．

解答 解：（1）由（0.030+0.050+a+0.005）×10=1得：
a=0.015；
（2）身高[170，180）中的频率为：0.015×10=0.15，
身高[180，190]中的频率为：0.005×10=0.05，
两组的频率比为：0.15：0.05=3：1，
在所抽取的1000人中，用分层抽样的方法在身高[170，190]中抽取一个容量为4的样本，
则身高[170，180）中应抽取3人，身高[180，190]中应抽取1人，
从中任意抽取2人，共有${C}_{4}^{2}$=6种抽法，
其中这两人的身高恰好落在区间[170，180）共有${C}_{3}^{2}$=3种抽法，
故这两人的身高恰好落在区间[170，180）的概率P=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
（3）身高在区间[160，180）频率为：（0.050+0.015）×10=0.65，
由20000×0.65=13000得：
身高在区间[160，180）的人数约为13000人．

点评 本题考查的知识点是频率分布直方图，古典概型概率计算公式，用样本估计总体，难度不大，属于基础题目．