题目内容
19.已知分段函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}(x≤0)}\\{a{x}^{2}-(a+1)x+c(x≥0)}\end{array}\right.$.(1)求实数c的值;
(2)当a=1时,求f[f(-1)]的值与函数f(x)的单调增区间;
(3)若函数f(x)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围.
分析 (1)利用分段函数的两段都取到x=0,列方程求出c;(2)利用复合函数的意义,求出f[f(-1)]的值,分段求单调增区间;(3)对a进行讨论.
解答 解:(1)因为两段都取到x=0,所以当x=0时的函数值相等,即20=c,因此c=1
(2)因为a=1,所以$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}(x≤0)}\\{{x}^{2}-2x+1(x≥0)}\end{array}\right.$,所以$f[f(-1)]=f[\frac{1}{2}]=\frac{1}{4}$
由解析式可知:f(x)的增区间是(-∞,0)和(1,+∞)
(3)由解析式$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}(x≤0)}\\{a{x}^{2}-(a+1)x+1(x≥0)}\end{array}\right.$知:
当x≤0时:函数没有零点
当x≥0时:f(x)=(ax-1)(x-1),此时函数一定有一个零点x=1
令h(x)=ax-1,则函数h(x)要么没有零点,要么有且只有一个零点x=1,而:
当a=0时,此函数没有零点,符合题意
当a<0时,此函数没有零点,符合题意
当a>0时,若a=1,此函数有且只有一个零点x=1,符合题意;其它取值都有不等于1的根,不符合题意
所以:当a∈(-∞,0]∪{1}时,函数f(x)有且只有一个零点
点评 本题主要考查分段函数的函数值、单调性和零点的问题,关键是分类讨论思想,属于中等题.
练习册系列答案
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