题目内容
5.函数f(x)=sinxcosx+sinx+cosx的值域是[-1,$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$].分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$),则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,所以f(x)=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1,从而求函数的值域.
解答 解:令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$),
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,t2=1+2sinxcosx,
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,
∴f(x)=sinxcosx+sinx+cosx
=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$(t+1)2-1,
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$,
∴-1≤(t+1)2-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$;
即函数f(x)=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[-1,$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$].
故答案为[-1,$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$].
点评 本题考查了换元法与配方法求函数的值域,属于基础题.
练习册系列答案
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A. | 3 | B. | $\sqrt{7}$ | C. | 1+$\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{5}$ |