题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,函数
恰有两个不同的零点,求实数
的值;
(2)当时,
① 若对于任意,恒有
,求
的取值范围;
② 若,求函数
在区间
上的最大值
.
【答案】(1) ;(2)①.
;②.
【解析】试题分析:(1)当时,考虑
的解,化简后得到
或者
,它们共有两个不同的零点,所以
必有解
,从而
.
(2)在
上恒成立等价于
在
上恒成立,因此考虑
在
上的最小值和
在
上的最大值即可得到
的取值范围.
(3)可化为
,则当
或
时,
在
上递增;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,两类情形都可以求得函数的最大值.当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,因此
,比较
的大小即可得到
的表达式.
解析:(1)当时,
,由
解得
或
,由
解得
或
.因为
恰有两个不同的零点且
,所以
,或
,所以
.
(2)当时,
,
①因为对于任意,恒有
, 即
,即
,因为
时,
,所以
, 即恒有
令
, 当
时,
,
,所以
, 所以
, 所以
.
②
当
时,
,
这时在
上单调递增,此时
;
当
时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,
,
而
,
当时,
;
当时,
;
当
时,
,
这时在
上单调递增,在
上单调递减,此时
;
当
时,
,
在
上单调递增,此时
;
综上所述, 时,
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