题目内容
已知a,b是不相等的正数,在a,b之间分别插入m个正数a1,a2, ,am和正数b1,b2, ,
bm,使a,a1,a2, ,am,b是等差数列,a,b1,b2, ,bm,b是等比数列.
(1)若m=5,=
,求
的值;
(2)若b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在n (n∈N*,6≤n≤m)使得an-5=bn,求λ的最小值及此时m的值;
(3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m).
(1);(2)
最小值为4,此时
为29;(3)详见解析
解析试题分析:(1)根据题意m=5时,共有7项,设等差数列的公差为,等比数列的公比为
,则
,表示出
,又由
,可得到
,解得
;(2)由条件得
,即
,从而得
,又由于
,即
,从而得
,又题中有
,可得
, 化简消去a得:
,观察此式结构特征:
,则要求
为有理数.即
必须为有理数,而
,可将
用数字代入检验: 若
,则
为无理数,不满足条件; 同理,
不满足条件; 当
时,
.要使
为有理数,则
必须为整数,要满足
,可解得
;(3)可假设
,
为数列
的前
项的和,我们易先证:若
为递增数列,则
为递增数列;同理可证,若
为递减数列,则
为递减数列;由于a和b的大小关系不确定,故要对其分类讨论:①当
时,
.当
时,
.即
,即
.因为
,所以
,即
,即
;②当
时,同理可求得
.
试题解析:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为
,
则.
. 2分
因为,所以
,解得
. 4分
(2)因为,所以
,从而得
.
因为,所以
,从而得
.
因为,所以
.
因为,所以
(*). 6分
因为
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