题目内容
一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:;为数表中第行的第个数.
(1)求第2行和第3行的通项公式和;
(2)证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列;
(3)求关于()的表达式.
(1),;(2)证明见解析,;(3).
解析试题分析:(1)根据定义,,因此
,;(2)由于第行的数依赖于第的数,因此我们可用数学归纳法证明;(3)设第行的公差为,
,而
,从而,即,于是有,由此可求得数列是公差为1的等差数列,而,由等差数列通项公式得,从而有.
试题解析:(1)
. (4分)
(2)由已知,第一行是等差数列,
假设第行是以为公差的等差数列,则由
(常数)
知第行的数也依次成等差数列,且其公差为.
综上可得,数表中除最后2行以外每一行都成等差数列. (9分)
(3)由于,所以, (11分)
所以,
由得, (13分)
于是,即, (15分)
又因为,所以,数列是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以,,所以(). (18分)
考点:(1)等差数列的通项公式;(2)等差数列的判定;(3)由递推公式求通项公式.
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