题目内容
若正数项数列的前项和为,首项,点,在曲线上.
(1)求,;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,表示数列的前项和,若恒成立,求及实数的取值范围.
(1);(2);(3).
解析试题分析:(1)根据已知点,在曲线上,代入曲线,得到与的关系,再根据,分别取和代入关系式,得到关于与的方程组,解方程,得到结果;(2)由(1)得的,因为是正项数列,所以两边开方,得与的地推关系式,从而判定数列形式,得出的通项公式,再根据,得出的通项公式;(3)代入的通项公式得到,然后裂项,经过裂项相消,得到的前项和,,通过分离常数可以判定的单调性,求出最值,若恒成立,那么,得到的范围.此题计算相对较大,属于中档题.
试题解析:(1)解:因为点,在曲线上,所以.
分别取和,得到,
由解得,. 4分
(2)解:由得.
数列是以为首项,为公差的等差数列,所以, 6分
由,当时,,
所以. 8分
(3)解:因为,
所以, 11分
显然是关于的增函数, 所以有最小值,
因为恒成立,所以,
因此,实数的取值范围是,. 13分
考点:1.等差数列的定义;2.已知求;3.裂项相消;4.函数最值.
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