题目内容
【题目】已知数列,若对于任意
数列
满足
,则称数列
为“
数列”.
(Ⅰ)已知数列:,
,
是“
数列”,求实数
的取值范围.
(Ⅱ)是否存在首项为的等差数列
为“
数列”,且前
项和
满足
,若存在,求出
的通项公式,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)已知各项均为正整数的等比数列是“
数列”,数列
不是“
数列”,若数列
,试判断数列
是否“
数列”,并且说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在;(Ⅲ)当
时,数列
为“
数列”,当
时,数列
不是“
数列”.
【解析】
(Ⅰ)利用“K数列”定义得到即得m的取值范围. (Ⅱ)假设存在等差数列
符合要求,设公差为
,则
,找到矛盾,得到不存在这样的数列. (Ⅲ)由各项均为正整数的等比数列
是“
数列”得到
,再由数列
不是“
数列”得到
即得
,所以
,
或
,
.再分别判断数列
是否“
数列”.
(I)根据题意得:,
∴,
∴,
故实数的取值范围是
.
(II)假设存在等差数列符合要求,设公差为
,则
,由
,得
,
根据题意得对
均成立,
即,
①当时,
.
②当时,
,
因为,
所以,与
矛盾,
故这样的的等差数列不存在.
(III)设数列的公比为
,则
,
因为的每一项均为正整数,且
,
所以且
,
因为,
所以在中,“
”为最小项,
同理,在中,“
”为最小项,
由为“
数列”,只需
,
即:,
又因为不是“
数列”且“
”为最小项,
所以,即:
,
由数列的每一项均为正整数,可得
,
所以,
或
,
.
①当,
时,
,则
,
令,
又,
所以为递增数列,即:
,
所以,
因为,所以对任意的
,都有
,
即数列为“
数列”.
②当,
时,
,则
,
因为,
所数数列不是“
数列”,
综上所述,当时,数列
为“
数列”,
当时,数列
不是“
数列”.
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