Question

【题目】在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（ ）
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】C
【解析】解：⑴如图，若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°；
∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣ac；
∴a2+c2﹣b2=ac；
∴（b+a﹣c）（b﹣a+c）=b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=﹣ac+2ac=ac；
即（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac；
∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件；
⑵若（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，则：
b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=ac；
∴a2+c2﹣b2=ac；
由余弦定理：a2+c2﹣b2=2accosB；
∴ ；
∴B=60°；
∴60°﹣A=180°﹣（A+60°）﹣60°；
即B﹣A=C﹣B；
∴A，B，C成等差数列；
∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的必要条件；
∴综上得，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充要条件．
故选：C．