Question

16．已知tan（α+$\frac{π}{4}$）=2，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求tanα的值；
（2）求sin（α-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据两角和的正切公式展开，即可得到所求的值；
（2）根据（1）求解sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，然后，利用两角差的正弦公式展开即可求解．

解答 解：（1）∵tan（α+$\frac{π}{4}$）=2，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=2，
∴tanα=$\frac{1}{3}$．
（2）根据（1）知，tanα=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{sinα}{cosα}=\frac{1}{3}$，
∴cosα=3sinα，
∵sin²α+cos²α=1，
∴$si{n}^{2}α=\frac{1}{10}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cosα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sin（$α-\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$-cosαsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{10}-3\sqrt{30}}{20}$．

点评 本题重点考查了两角差的正弦公式和正切公式的灵活运用，属于中档题．