Question

11．已知直线ax-by+2=0，被圆x²+y²+4x-4y-1=0截得弦长为6，求$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 圆可化为（x+2）²+（y-2）²=7，表示以M（-2，2）为圆心，以$\sqrt{7}$为半径的圆，由题意可得，圆心在直线axax-by+2=0上，得到a+b=1，用“1”的代换，利用基本不等式求得式子的最小值．

解答 解：圆x²+y²+4x-4y+1=0，即（x+2）²+（y-2）²=9，表示以M（-2，2）为圆心，以3为半径的圆，
由题意可得，圆心在直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，故-2a-2b+2=0，
即a+b=1，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥5+2$\sqrt{6}$
当且仅当$\frac{2}{a}$=$\frac{3}{b}$时，等号成立，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为5+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，以及基本不等式的应用，得到a+b=1，是解题的关键．