Question

8．判断以A（4，1），B（1，5），C（-3，2），D（0，-2）为顶点的四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 根据题意，由ABCD四个顶点的坐标求出$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{BC}$的坐标，结合向量的坐标运算性质分析可得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0以及|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=5，将其转化为四边形的边与边之间的关系即可得答案．

解答 解：根据题意，四边形的四个顶点的坐标为A（4，1），B（1，5），C（-3，2），D（0，-2），
则$\overrightarrow{AB}$=（-3，4），$\overrightarrow{DC}$=（-3，4），
则有$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DC}$，即四边形ABCD为平行四边形．
$\overrightarrow{BC}$=（-4，-3），
有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=（-3）×（-4）+4×（-3）=0，即AB⊥BC；
则四边形ABCD为矩形，
且|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=5
即四边形ABCD为正方形．

点评 本题考查向量的坐标运算，注意要充分利用向量的坐标运算性质，发现四边形的边与边之间的关系．