Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左顶点为，过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线分别交直线于两点，交椭圆于另一点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点．

【解析】

（Ⅰ）先得出a＝2，再由离心率计算出c的值，再由a、b、c的关系求出b的值，即可得出椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），可得出直线l2的方程为，将这两条直线分别于直线l的方程联立，可得出点M、N的坐标，然后写出直线AM的方程，将直线AM的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求出点P的坐标，再写出直线PN的方程，通过直线PN的方程找出直线 PN所过的定点．

解：（Ⅰ）由题意，

离心率，所以.

所以，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意，设，．

令，得，，

又，所以直线的方程为．

由，消元，得，

即，

设，则，所以．

所以，

又，

所以直线的斜率为

，

所以直线的方程为，

即，

直线恒过定点．