Question

12．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴．曲线C的极坐标方程为 ρ²=4，已知倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线?经过点P（1，1）．
（Ⅰ）写出直线?的参数方程；曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线?与曲线C相交于A，B两点，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{π}{4}}\end{array}}\right.$，利用ρ²=x²+y²可得曲线C的方程．
（Ⅱ）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入x²+y²=4，化简整理得：${t^2}+2\sqrt{2}t-2=0$．可得|PA|×|PB|=|t₁|×|t₂|，由于直线l经过圆心，可得|PA|+|PB|=|AB|=4，代入即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{π}{4}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，
曲线C的方程x²+y²=4．
（Ⅱ）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入x²+y²=4，化简整理得：${t^2}+2\sqrt{2}t-2=0$．
∴|PA|×|PB|=|t₁|×|t₂|=|t₁×t₂|=|-2|=2，
∵直线l经过圆心，∴|PA|+|PB|=|AB|=4，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{{|{PA}|+|{PB}|}}{{|{PA}|×|{PB}|}}=\frac{4}{2}=2$．

点评 本题考查了直线参数方程的应用、直角坐标方程与极坐标方程互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．