Question

10．在三棱锥P-ABC中，AP=AC，BP=BC，E、F、M分别是PB、BC、CP的中点，求证：平面AEF⊥平面ABM．

Answer 1

分析 设EF与BM交于H，连接AH，由等腰三角形的三线合一，可得PC⊥MB，AM⊥PC，运用线面垂直的判定定理，可得PC⊥平面BMA，AH?平面BMA，则AH⊥PC，再由EF⊥BM，运用线面垂直和面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：设EF与BM交于H，连接AH，
由M为PC的中点，BP=BC，
可得PC⊥MB，
由E、F分别是PB、BC的中点，可得EF∥PC，
即有EF⊥BM，
由AP=AC，M为PC的中点，可得AM⊥PC，
由PC⊥BM，可得PC⊥平面BMA，
AH?平面BMA，则AH⊥PC，
即有AH⊥EF，又EF⊥BM，
则EF⊥平面ABM，EF?平面AEF，
则平面AEF⊥平面ABM．

点评 本题考查面面垂直的判定，注意运用面面垂直的判定定理，考查空间线面位置关系的转化思想，以及推理和逻辑能力，属于中档题．