Question

18．设a是实数，g（x）是指数函数，且g（x）的图象过点（2，4），若f（x）=a-$\frac{2}{g（x）+1}$（x∈R）．
（1）试证明：对于任意的a，f（x）在R上为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=m^x，把点（2，4）代入求出g（x）和f（x），利用函数的单调性定义、指数函数的单调性证明结论即可；
（2）由f（x）是R上奇函数、奇函数的定义得：f（0）=0，列出方程求出a的值．

解答 证明：（1）设g（x）=m^x（m＞0且m≠1），
因为g（x）的图象过点（2，4），
所以m²=4，解得m=2，则g（x）=2^x，
即$f（x）=a-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
设设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（$a-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$a-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{-2（{2}^{{x}_{2}}+1）+2（{2}^{{x}_{1}}+1）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
又由y=2^x在R上为增函数，且x₁＜x₂，
则${2}^{{x}_{1}}＞0$，${2}^{{x}_{2}}＞0$，${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
所以$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＜0$，则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以对于任意的a，f（x）在R上为增函数；
解：（2））若f（x）为奇函数，且其定义域为R，
必有f（0）=0，则$a-\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，解得a=1，
当a=1时，f（x）为奇函数．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，函数单调性的证明，指数函数的单调性，考查化简、变形能力，属于中档题．