题目内容
【题目】已知函数f(x)=a- (a∈R).
(1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明;
(2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数,求a;
(3)对于(2)中的a,若f(x)≥,当x∈[2,3]时恒成立,求m的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)a=1;(3).
【解析】试题分析:(1)设x1,x2∈R,且x1<x2,由定义法能推出f(x1)-f(x2)<0,从而得到f(x)在定义域上单调递增;
(2)由奇函数定义得f(0)=0,求参检验即可;
(3)由条件可得: m≤2x (1-=(2x+1)+
-3恒成立.m≤(2x+1)+
-3的最小值,x∈[2,3]即可得解.
试题解析:
(1)不论a为何实数,f(x)在定义域上单调递增.
证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=
.
由x1<x2可知0<2x1<2x2,
所以2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).
所以由定义可知,不论a为何数,f(x)在定义域上单调递增.
(2)由f(0)=a-1=0得a=1,经验证,当a=1时,f(x)是奇函数.
(3)由条件可得: m≤2x=(2x+1)+
-3恒成立.m≤(2x+1)+
-3的最小值,x∈[2,3].
设t=2x+1,则t∈[5,9],函数g(t)=t+-3在[5,9]上单调递增,
所以g(t)的最小值是g(5)=,
所以m≤,即m的最大值是
.
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