Question

17．数列1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，…的前n项和S_n=$\frac{{n}^{3}+3{n}^{2}+2n}{6}$．

Answer 1

分析 通项公式a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$，利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，即可得出．

解答 解：通项公式a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$，
∵1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
∴数列1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，…的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（1²+2²+…+n²）+$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+$\frac{n（n+1）}{4}$=$\frac{{n}^{3}+3{n}^{2}+2n}{6}$，
故答案为：$\frac{{n}^{3}+3{n}^{2}+2n}{6}$．

点评 本题考查了结论1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．