Question

8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为2，在正方体内随机取点M
（1）求M落在三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率；
（2）求M落在三棱锥B-A₁B₁C₁内的概率；
（3）求M到面ABCD的距离大于$\frac{1}{3}$的概率；
（4）求M到各顶点的距离小于1的概率．

Answer 1

分析 由题意，都符合几何概型，分别求点M构成的几何体的体积，求体积比即可得到答案．

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为2，
故正方体的体积为8，
（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积是正方体底面ABCD的一半，高等于正方体的棱长，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=4，
故M落在三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率P=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵三棱锥B-A₁B₁C₁的底面积是正方体底面ABCD的一半，高等于正方体的棱长，
故三棱锥B-A₁B₁C₁的体积V=$\frac{4}{3}$，
故M落在三棱锥B-A₁B₁C₁内的概率P=$\frac{\frac{4}{3}}{8}$=$\frac{1}{6}$，
（3）M与面ABCD的距离大于$\frac{1}{3}$时，
所有的点M构成一个底面底面积是正方体底面ABCD，高为$\frac{2}{3}$的长方体，
故其体积$\frac{16}{3}$，
故M到面ABCD的距离大于$\frac{1}{3}$的概率P=$\frac{\frac{16}{3}}{8}$=$\frac{2}{3}$；
（4）正方体的体对角线长为2$\sqrt{3}$，则求M到各顶点的距离小于x的概率P=0；

点评 本题考查了几何概型，计算出满足条件的基本事件对应的几何体的体积，是解答的关键，属于中档题．