Question

9．已知函数f（x）=3sin（x+$\frac{π}{3}$），若f（θ）-f（-θ）=$\sqrt{3}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，求f（$\frac{π}{6}-θ$）

Answer 1

分析 由和差角的三角函数公式可得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，诱导公式和同角三角函数基本关系可得．

解答 解：由题意可得f（θ）-f（-θ）=3sin（θ+$\frac{π}{3}$）-3sin（-θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）-（-$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴f（$\frac{π}{6}-θ$）=3sin（$\frac{π}{6}$-θ+$\frac{π}{3}$）=3sin（$\frac{π}{2}$-θ）=3cosθ=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角函数求值，涉及同角三角函数基本关系和和差角的三角函数，属基础题．