题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求函数
在
上的最大值和最小值;
(2)若函数为
上的单调函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)由得
,对其求导,得到
,解对应不等式,求出单调区间,进而可求出最值;
(2)先由得到函数
不可能在
上单调递增,由题意,得到
在
上单调递减,推出
恒成立;令
,用导数的方研究其单调性,进而可求出结果.
(1)当时,
,所以
.
由解得
,由
解得
.
故函数在区间
上单减,在区间
上单增.
,
,
;
(2) 因为,所以函数
不可能在
上单调递增.
所以,若函数为
上单调函数,则必是单调递减函数,即
恒成立.
由可得
,
故恒成立的必要条件为
.
令,则
.
当时,由
,可得
,
由可得
,
在
.上单调递增,在
上单调递减.
故
令,下证:当
时,
.
即证,令
,其中
,则
,
则原式等价于证明:当时,
.
由(1)的结论知,显然成立.
综上,当时,函数
为
上的单调函数,且单调递减.
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