题目内容
【题目】直线l过点M(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点.
(1)当△ABO的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当最小时,求直线l的方程.
【答案】(1)x+2y-4=0(2)x+y-3=0
【解析】
(1)如图,设=a,
=b,△ABO的面积为S,则S=
ab,并且直线l的截距式方程是
=1,
由直线通过点(2,1),得=1,所以
.
因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上,所以上式右端的分母b-1>0.由此得
S=×b=
×b=
=b+1+
=b-1+
+2≥2+2=4.
当且仅当b-1=,即b=2时,面积S取最小值4,这时a=4,直线的方程为
=1.
即直线l的方程为x+2y-4=0.
(2)如上图,设∠BAO=θ,则=
,
=
,
所以=
·
=
,
当θ=45°时,有最小值4,此时直线斜率为-1,∴直线l的方程为x+y-3=0
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