题目内容
7．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的一条直线与它交于P，Q两点，过点P和此抛物线顶点的直线与准线交于点M．求证直线MQ平行于此抛物线的对称轴．分析 设直线PQ为x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，代入抛物线y2=2px，得到y2-2pky-p2=0，由韦达定理得y1•y2=-p2；再证明M，Q的纵坐标相同即可．
解答 证明：抛物线y2=2px的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），
设直线PQ为x-$\frac{p}{2}$=ky，即x=ky+$\frac{p}{2}$，
代入抛物线y2=2px得：
y2=2p（ky+$\frac{p}{2}$），即y2-2pky-p2=0
由韦达定理得：y1•y2=-p2；
直线OP的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•x，
x=-$\frac{p}{2}$时，y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{p}{2}$=-$\frac{p}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}}$=-$\frac{{p}^{2}}{{y}_{1}}$=y2，
即有直线MQ平行于此抛物线的对称轴．
点评 本题考查直线与抛物线之间的关系，利用方程联立得到方程，根据根和系数的关系得到结论是关键．
练习册系列答案
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16．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，CF：FB=2：1，那么$\overrightarrow{EF}$=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$ | B． | $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$ | C． | $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$ | D． | $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$ |