Question

15．设a₁，a₂，…a₂₀₁₄都是正数且a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=1．则$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2+{a}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{2+{a}_{2}}$+…$\frac{{{a}_{2013}}^{2}}{2+{a}_{2013}}$+$\frac{{{a}_{2014}}^{2}}{2+{a}_{2014}}$的最小值为$\frac{1}{4029}$．

Answer 1

分析 利用柯西不等式的变形：设a₁，a₂，…a_n为实数，b₁，b₂，…b_n为正数，则$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）^{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}$当且仅当$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$时取等号，计算即得结论．

解答 解：$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2+{a}_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{2+{a}_{2}}$+…$\frac{{{a}_{2013}}^{2}}{2+{a}_{2013}}$+$\frac{{{a}_{2014}}^{2}}{2+{a}_{2014}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2014}）^{2}}{2×2014+（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2014}）}$=$\frac{1}{4028+1}$=$\frac{1}{4029}$，
当且仅当$\frac{{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{2+{a}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{2014}}{2+{a}_{2014}}$取等号，
故答案为：$\frac{1}{4029}$．

点评 本题考查柯西不等式的变形，注意解题方法的积累，属于中档题．