Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数的解析式为f（x）= ﹣ （a∈R）．
（1）求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[﹣1，0]上的最大值．
（3）对任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤M成立，求最小的整数M的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，

所以f（0）=1﹣a=0，所以a=1；

当x∈[0，1]时，则﹣x∈[﹣1，0]，所以f（x）=﹣f（﹣x）= ，

化简得f（x）=2x﹣4x．x∈[0，1]

（2）解：由（1）知，x∈[0，1]时， ，其中2x∈[1，2]，

所以当2x=1时，fmax（x）=0；2x=2时，fmin（x）=﹣2，

根据对称性可知f（x）在[﹣1，0]上的最大值为2

（3）解：因为f（x）为[﹣1，1]上的奇函数，且f（0）=0，结合（2）可知，该函数在定义域[﹣1，1]上的最大值为2，最小值为﹣2，

|f（x1）﹣f（x2）|≤fmax（x）﹣fmin（x）=4，所以M=4

【解析】（1）先设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，然后结合已知的解析式、奇函数的性质即可解决问题；（2）根据函数的特点，可采用配方法结合自变量的取值范围解决问题；（3）因为是不等式恒成立问题，所以转化为函数的最值问题来解．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．