题目内容
【题目】如图,在三棱锥D﹣ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC,
(1)求证:AC⊥平面DEF;
(2)求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:取AC的中点H,
∵AB=BC,∴BH⊥AC.
∵AF=3FC,∴F为CH的中点.
而E为BC的中点,∴EF∥BH.∴EF⊥AC.
∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.
∵AC平面ABC,∴DE⊥AC.
而DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF.
(2)解:取AC中点G,以E为原点,EC为x轴,EG为y轴,ED为z轴,
建立空间直角系,设AB=BC=2,
则E(0,0,0),C(1,0,0),A(﹣1,2,0),F( , ,0),
B(﹣1,0,0),D(0,0, ),
=( , ,0), =(0,0, ),
设平面EFP的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得 =(1,﹣1,0),
设平面ABD的法向量 =(a,b,c),
=(0,﹣2,0), =(1,﹣2, ),
,取c=1,得 =( ),
设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ,
则cosθ= = = .
∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为 .
【解析】(1)取AC的中点H,推导出BH⊥AC,EF⊥AC,DE⊥BC,AB⊥DE,DE⊥AC.由此能证明AC⊥平面DEF.(2)取AC中点G,以E为原点,EC为x轴,EG为y轴,ED为z轴,建立空间直角系,利用向量法能求出平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.